Régulateur PID

Construction et étude d'un régulateur PID

Introduction
Calcul des éléments du circuit du régulateur
Tests et calibrage
Etude approfondie

Introduction

Il nous est proposé de construire un régulateur continu à partir d'amplificateurs opérationnels et d'autres éléments.

Un régulateur PID effectue un traitement de l'écart E entre la grandeur de consigne et la grandeur de sortie (régulée).

• Action proportionnelle : Si cette action et importante on obtient une action énergique et rapide mais avec risque de dépassement et d'oscillation. Si elle est faible on a une réponse lente et molle.
• Action intégrale : Si on a une variation brusque de la consigne l'action de commande est plus progressive que la proportionnelle. Elle permet d'annuler l'écart en statique (erreur de position). En dynamique, on a un ralentissement du transitoire et une augmentation de l'instabillité.
• Action dérivé : Effet d'anticipation par prise en compte du sens de variation de l'écart E. effet stabilisateur en dynamique et augmentation de la rapidité de la réponse.



Calcul des éléments du circuit du régulateur

Les valeurs des différents composants sont calculées de telle manière qu'on ait K qui varie de 0.1 à 10, Ti de 0.3 à 100s, Td de 2 à 100s, Kd=10.

De plus, la consigne interne varie de 0 à 10V.

Voici le circuit électronique après en avoir calculé les différents éléments :



Calibrage et test du PID

Après avoir monté le PID, nous pouvons passer au calibrage des différents potentiomètres.

Ceux-ci sont réglés de telle façon qu'on ait une sortie de 0 à 10V et que l'affichage corresponde aux valeurs réelles des tensions.

Les tests sont réalisés à l'aide d'un procédé à contrôler.

Ce procédé est décrit par:

1.5834/[(1+39.8662p)(1+14.7094p)]

Nous avons utilisé deux méthodes pour régler le PID:

• méthode d'Astrom : permet de trouver les paramètres à partir de la fonction de transfert, la marge de phase souhaitée et la période de travail.
• méthode des relais : permet de trouver les paramètres en faisant entrer le système en auto-oscillation.
Méthode d'Astrom

Le procédé doit être modélisé par une fonction de transfert du 2° ordre de la forme :

Gp(p) =

Cette fonction de transfert est caractérisée par son module et sa phase Φp(jω).

Les critères d’Aström-Hägglund permettent de fixer la marge de phase Φ  s et la période opérationnelle Ts de la réponse en boucle fermée.

Ensuite, pour répondre aux spécifications fixées, on dispose de formules permettant le calcul direct des paramètres K, Ti, Td :

●K =

● Td = avec : ωs = (2 π)/Ts

et Φc = π + Φs – Φp(jωs)

● Ti = Td x α (α =4)

Choix de Φs et Ts :

D’après le critère du Revers, il faut choisir une marge de phase positive pour assurer la stabilité du système. Cependant, celle-ci ne doit pas trop s’éloigner du point critique car le système s’en trouverait ralenti. Ainsi, il est conseillé de choisir une marge de phase Φs de l’ordre de 45°.

La période opérationnelle Ts peut être approximée par Ts = (2 à 8) t. Dans notre cas on prendra Ts = 50s.

Calcul des paramètres :

Pour notre système, nous avons donc fixé :

Φs = 45° Ts = 50 s => ωs = 0.12566 rad/s

On en déduit alors les paramètres du P.I.D :

K = 4.79 Td = 4.37 Ti = 17.46

On remarque que le comportement en boucle fermée est très satisfaisant. En
particulier, les pôles dominants ont manifestement un très bon taux d’amortissement
(z ~ 0.5), bien que celui-ci n’ait pas été imposé explicitement lors de la
synthèse. C’est grâce à la marge de phase Φs de 45 ° qu’un tel résultat peut
être obtenu dans une majorité de cas : on peut faire l’association
z ~0.5 <=> Φs ~ 45 °



Méthode des relais



Cette méthode permet d'avoir un PID adaptatif. En effet on peut remesurer les paramètres du PID chaque fois que nécessaire en le remplacant par une bascule de schmitt (relais) dans la boucle de régulation du procédé.



Calcul du PID :
On a besoin de l'amplitude de l'auto-oscillation A=3V et de sa période Tc=99.2s.

Kp=(sin²Fs + xcosFs)/(x²+sin²Fs)=1.493

Td=(-B+(B²+(4/a))^(-1/2))/(2wc)=4.2514s

Ti=aTd=17.0055s

avec x=(pi(A²-h²))/(4d)
B=(cosF*xsinFs)/(sin²Fs+xcosFs) = 0.65911
a=4
Fs : marge de phase désirée =30°

On a vérifié expérimentalement la validité de ces calculs en mesurant la réponse à un échelon unitaire du procédé régulé par le P.I.D. Le résultat est tout à fait satisfaisant.



Etude approfondie
Effet de la consigne sur la régulation

La consigne a un effet sur la sortie du PID : la réponse à un échelon de 1V n'est pas l même comme on peut le constaté sur les deux échelons :

Echelon de 1V	Echelon de 5V
Mesure en sortie du procédé	Mesure en sortie du procédé
Mesure en sortie du PID	Mesure en sortie du PID

On constate que pour un échelon de la consigne de 5V la régulation est plus sacadé que pour échelon de 1V. Ceci est du à la saturation de la sortie du PID comme on peut le voir sur le tracé de l'oscilloscope.

Effet de l'utilisation d'AOPs réels
Effet d'un AOP Réel en régime statique



• Tension de décalage V₀ : C'est la tension appliquer à l'entrer pour que la sortie soit à 0V quand V+ = V-. (UA741 : V₀=5mv).
• Courant de polarisation I+, I- : C'est le courant de polarisation d'entrèe (Ie=(I+-I-)/2).
• Courant de décalage I₀ : C'est la différence entre les courants d'entrès lorsque Vs₀=0 (amplificateur équilibré).
• Résistance d'entrèe R_d : Résistance vu à l'entrée R_d=(V⁺-V^-)/(I⁺-I^-) (UA741 >= 200 KOhms).
• Résistance de sortie Rs : Résistance vu à la sortie (UA741 Rs = 100 Ohms).
• Gain en tension différentiel : A_d0=e'_s/(V⁺-V^-).
• Gain en tension de mode commun : A_M0=2e''_s/(V⁺+V^-).
• Rapport de rejection de mode commun : RRMC = A_d0/ A_M0 (Ampli meilleur si grand - UA741 : 3000 - 70dB).

  Vs=A_d0(Vd + (V_M/RRMC))
                                 Terme indésirable

• Tension maximale de sortie : saturation.
• Intensité maximale de sortie : limiteur de courant intégrer à l'AOP ( i_{s max}=25mA).
Effet d'un AOP Réel en régime dynamique
• Fonction de transfert : A_d(p)=A_d0/(1+T₁p) avec T₁ période du signal d'entrèe donnant un gain de 1.
• Vitesse de Balayage (Slew rate) : [dV_s/dt]_max. Permet de prévoir la plus haute fréquence que pourra atteindre un signal d'amplitude donnée sans que sa forme ne soit altèrée. (UA741 : SR=0,5V.µs^-1=0,5.10⁶V.Hz).
Influence d'une disymétrie dans le circuit.



On suppose que la tolérance relative de fabrication des résistances R1 et R4 est s = ∆  Ri/Ri, on a alors :
Ri’ = Ri (1 ± s)
Avec Ri’ : valeur réelle
Ri : valeur nominale


Vs = i2 R4 – i1 R2 avec i1 = et i2 =

donc Vs = VE2

En prenant compte des valeurs réelles des résistances on obtient :

Vs = VE2 (1 + ) - VE1

Si on se place dans le cas ou la dissymétrie est la plus importante on a :

= » (1 - 2s)

= » (1 + 2s)

Vs = VE2 (1 + 2s) (1 – 4s ) – VE1 (1 – 2s)

 

En factorisant on obtient :

Vs = Ve Gd + Vm
        Gain   + Erreur

Influence de la tension de décalage V₀



La tension de sortie de A1 est de :

Vs = Ve + (1 + ) Vo

Si on considère une tension de décalage Vo = 5 mV, l’erreur absolue de la régulation causée par cette tension est alors de  :

Ve + (1 + Vo = 0

= (1+) Vo =11 x 5 = 55 mV

Influence du RRMC

Si on considère un RRMC de 70 dB, l’erreur relative à la consigne VE1 de la régulation est alors de :

Vs = (Ve + ) = 0 (Vm = VE1)

= = 1/3000 = 0.033 %

Ainsi, pour VE1 = 10 V, on a = 3.3 mV

Vs = R2/R1 (Ve + )

Expression complète d'un AOP réel

Vs1 = Ve Gd [1 + ()] + [1 + (1-2s)] Vo
(I) (II)

Avec Gd = (1 – 2s )

(I) : Influence de la tension de mode commun

(II) : Influence de la tension de décalage

Conséquence sur l'effet intégral
Pour l'effet intégral, on veut un courant de fuite dans l'aop le plus petit possible. En effet ce courant ferait se décharger le condensateur et la fonction de transfert de l'effet intégral ne serait plus alors de G(p)=1/(Tip) mais G'(p)=1/(e+Tip). Pour que e soit le plus faible possible on utilise un aop de plus grande qualité que le 741.
© HAMEL Cédric, MERONI Damien 2003